# Felsner S.'s 3-Interval irreducible partially ordered sets PDF

By Felsner S.

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Example text

Bd a e e Man verifiziert leicht, dass beide partielle Ordnungen einen Verband bilden. Fiir den linken Verband gilt b /\ (e V d) = b /\ a = b ::/= e = e V e = (b /\ e) V (b /\ d), der Verband ist also nicht distributiv. Fiir den rechten Verband gilt analog b /\ (e V d) = b /\ a = b ::/= e = e V e = (b /\ e) V (b /\ d), der Verband ist also ebenfalls nicht distributiv. 38 die einzigen nicht distributiven Verbande: Man kann zeigen, dass jeder nicht distributive Verband einen dieser beiden Verbande als Unterverband enthalten muss.

Fur k > n gilt sicher Sn,k = O, denn eine n-elementige Menge kann nicht in mehr als n disjunkte nichtleere Teile zerlegt werden. Fur k = O ist andererseits Sn,O = Orur alle n > O (denn in irgendeiner Klasse mussen die Elemente ja zu liegen kommen). Fur n = Odefiniert man So,o := 1. Fur Werte1:::; k :::; n kann man analog zu den Binomialkoeffizienten wieder eine rekursive FormeI herleiten. 20 (Stirling-Dreieck zweiter Art) Fiir alle k, n E N mit n ;::: k gilt: Sn,k = Sn-1,k-1 + kSn- 1,k. Beweis: Wir geben wieder einen kombinatorischen Beweis mit Hilfe der Summenregel an.

M = n. (fi, 1) ist also ebenfalls eine partiell geordnete Menge. Aus einer antisymmetrischen Relation R <;;; S x S kann man eine partielle Ordnung R* erzeugen, indem man sie zum einen reflexiv macht (also alle noch nicht vorhandenen Paare (x, x) zu R hinzufiigt) und zum anderen solange "erzwungene" Paare hinzufiigt, bis die Transitivitatsbedingung erfiillt ist. Um dies zu formalisieren fiihren wir zwei weitere Begriffe ein. Die 44 KAPITEL 1. KOMBINATORIK transitive Hiille R+ (engl. transitive closure) einer Relation R ist folgendermaBen definiert: (x, y) ist genau dann in R+ enthalten, wenn es ein n E N gibt und Elemente ZO, ...