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By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

ISBN-10: 3519020300

ISBN-13: 9783519020301

ISBN-10: 3663098133

ISBN-13: 9783663098133

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend struggle, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre battle, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, was once diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem pattern zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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6 sind nicht vollständig. Wir haben bislang von gerichteten Graphen gesprochen. , betrachtet man in der Definition des Graphen an Stelle der Abbildung g:E~y2 e ine Abbildung, welche statt i n y2 i n die Menge der ungeordneten Paare von Elementen aus Y abbildet, so kommt man zu einem u ngeriahtet en Gr aphen . Alle f Ur gerichtete Graphen erklärten Begriffe sind unmittelbar auf unger ichtete Graphen Ube r t r agbar . Der beschriebene Zusammenhang zwischen Graphen und Relationen be- 34 steht allerdings nicht mehr.

Daß die Fakoralgebra M/0K isomorph zu W ist. Dazu betrachten wir die Abbildung 6: W.... M/ 0 K• welche definiert ist durch 6(w) = U(w). Da jede Kl a s s e von K als Bild unter 6 auftritt. ist 6 surjektiv. und wegen wr # w2 .. 6(Wr ) = U(w r) # U(w 2) = 6(W 2) ist 6 auch injektiv. Ist *v e ine Operation von W der Stelligkeit nv>O. so gilt. w 2 •.. X 2 •. X n ) Ist *v 6(*v(ß)) = eine nullstellige Operation. so erhalten wir: = U(*v(ß)) = U(h(ov(ß))) = ~ = 0v(ß). ) Also ist 6 ein Isomorphismus von W auf M/0 K.

L,4,6,S},{2,3,4,6},{2,5,7} ist ein Beispiel für e ine Phasenfo lge, bei der insbesondere die Forderung erfüllt ist, daß innerhalb eines Zyklus ein Verkehrsstrom nicht mehr als einmal gesperrt bzw . freigegeben ist . ) Auch {1,4,6 ,S},{2,3,6,7},{2,5,7} ist eine in dieser Hinsicht zul ässige Phasenfolge . Will man, daß die Kreuzung im Laufe des Zyklus der Phasen einmal außer für Fußgänger für den gesamten Verkehr gesperrt ist, so wird man die Phase {6,7,S} in der Phasenfolge berUcksichtigen . Selbstverständlich spielt auch die Zeitdauer der einzelnen Phasen eine wichtige Rolle .

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by John
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