Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche - download pdf or read online

By Otto Forster

ISBN-10: 3322919080

ISBN-13: 9783322919083

ISBN-10: 3528372311

ISBN-13: 9783528372316

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses f?r studierende der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel ?ber Differentialrechnung im R^n behandelt nach einer Einf?hrung in die topologischen Grundbegriffe Kurven im R^n, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Ver?nderlichen, implizite Funktionen und parameterabh?ngige Integrale.
Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einf?hrung in die Theorie der gew?hnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der lienaren Differentialgleichungen eingegangen.
Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu gro?e Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erl?utern, insbesondere solche, die f?r die Physik appropriate sind.

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Partielle Ableitungen b) Flir [a,b]CIR sei La,b die Bogenlange derKurve fl[a,b]. Manberechne La,b' c) Existiert lim La,o? a""'-+ - 00 d) Man zeige, daB die logarithmische Spirale jeden Kreis urn den Nullpunkt in genau einem Punkt schneidet und berechne den Cosinus des Schnittwinkels. 3. a) Man zeige, daB flir jedes k E [0, 1] das uneigentliche Integral E(k):= r 1 Jo Jl-k 2 t2 JI=t2 dt existiert. E (k) heilit vollstandiges elliptisches Integral. b) Man driicke die Bogenlange der Ellipse f: [0, 2n]- IR 2 , t I- (a cos t, b sin t) , mit den Halbachsen a, bE IR!

P2 ist also eine quadratische Form mit der Matrix (! DjDj f(x». ) flir folgende Defmition. Definition. Sei U C IRn eine offene Teilmenge und f: U .... IR eine zweirnal stetig differenzierbare Funktion. Unter der Hesseschen Matrix von f im Punkt x E U versteht man die n X n-Matrix (Hess f) (x):= (DjDjf(x» 1';;; i';;; n . 1';;; j';;; n Die Hessesche Matrix ist symmetrisch, da Dj Dj f = Dj Dj f. Wegen der obigen Bemerkungen ist das folgende ein Spezialfall von Corollar 1: Corollar 2. Sei U C IR n of/en, x E U, und f: U ....

Weiter sei f: U .... IR eine (k + I)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann existiert ein (} E [0. 1]. ,~ 1",I=k+1 Beweis. I] .... IR. get) := f(x + tn. , . 57 § 7. TaYlor-Forme!. Lokale Extrema Nach Satz list g (k + I)-mal stetig differenzierbar und nach der Taylor-Formel flir Funktionen einer Veranderlichen (An. I, § 22, Satz 2) existiert ein e E [0, I], so daB k g(m) (0) g(I) = L~ m= g(k+ I) (e) + (k + I)! 0 Nach Satz 1 ist flir m = I, ... -~ und g(k+l) (e) ,~ (k + I)! L.. 1001=k+1 DO:f(x+e~) 0: ~, a!

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Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


by Donald
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